Wie groß ist die Summe der Winkel? – Rätsel der Woche

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Die Figur in der Abbildung oben erinnert an ein Windrad. Sie besteht aus fünf Dreiecken. Diese Dreiecke haben eine Besonderheit: Sie sind entstanden aus fünf Strecken, die alle durch denselben Punkt laufen, der die Mitte des Windrads bildet.

Jeweils zwei benachbarte Endpunkte der fünf Strecken wurden dann so miteinander verbunden, dass die insgesamt fünf Dreiecke entstanden sind.

Verlängert man eine am Mittelpunkt endende Seite eines der fünf Dreiecke, kommt man zum Eckpunkt eines auf der anderen Seite des Mittelpunktes liegenden Dreiecks.

Können Sie die Summe der zehn äußeren Winkel der fünf Dreiecke berechnen? Die Winkel sind in der Abbildung oben mit einem kräftigen Pink hervorgehoben.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt bekanntlich 180 Grad. Bei der Lösung dieses Problems hilft uns das jedoch erst einmal nicht weiter, weil wir nur die Summe der zehn äußeren Winkel suchen. Die fünf spitzen Winkel am Mittelpunkt des Windrads – dem Kreuzungspunkt der fünf Strecken – gehören nicht dazu.

Doch es gibt eine Besonderheit bei diesen fünf spitzen Winkeln, die in der folgenden Skizze grün markiert sind. Zu jedem grünen Winkel gehört ein blau markierter Scheitelwinkel, der ihm gegenüberliegt und genauso groß ist wie der grüne Winkel – siehe Skizze:

Die fünf grünen Winkel und die fünf gleich großen blauen Scheitelwinkel sind zusammen 360 Grad groß. Das bedeutet, dass die fünf grünen Winkel in Summe auf 180 Grad kommen – dasselbe gilt für ihre fünf blau gefärbten Scheitelwinkel.

Wenn wir die Summe der zehn äußeren Winkel berechnen wollen, müssen wir von der Innenwinkelsumme der fünf Dreiecke (5*180 Grad = 900 Grad) die Summe der fünf spitzen grünen Winkel abziehen. Und die beträgt 180 Grad, wie wir eben herausgefunden haben. Das Ergebnis lautet daher 720 Grad .

Entdeckt habe ich diese Knobelei in der Facebook-Gruppe »Geometria Super Top«.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: