Mist�rios dos primos: a espiral de Ulam

Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France

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O matemático alemão Don Zagier, um dos maiores especialistas do mundo em teoria dos números, escreveu uma vez que "os números primos estão entre os objetos mais imprevisíveis estudados pelos matemáticos: eles crescem como ervas daninhas entre os números naturais, parecendo não obedecer a nenhuma lei a não ser a do acaso. E, no entanto, eles também exibem uma regularidade impressionante: existem leis que regem o seu comportamento e eles obedecem a essas leis com precisão quase militar".

Uma bela ilustração desses fatos foi descoberta em 1963 pelo matemático polonês-americano Stanislaw Ulam. Reza a lenda que Ulam estava assistindo a uma palestra longa e particularmente chata e, para se distrair, teve a ideia de escrever os números naturais no papel numa espiral: o 1 no centro; do 2 até o 9, formando um quadrado em volta dele; do 10 ao 25 formando um quadrado maior em volta desse; e assim sucessivamente.

Em seguida, ele marcou os números primos na espiral com um pequeno círculo e analisou a disposição dessas marcações. Assim, descobriu que essa disposição é menos aleatória do que parece à primeira vista: surpreendentemente, aparecem na figura diversas retas (verticais, horizontais e diagonais) onde as marcações são muito abundantes, isto é, retas que contêm uma grande quantidade de números primos.

Na verdade, um fenômeno parecido já tinha sido descoberto em 1932 pelo zoólogo norte-americano Laurence Klauber (especialista em répteis e anfíbios!). A principal diferença é que Klauber organizou os números num triângulo: o 1 na primeira linha; do 2 ao 4 na segunda; 5 a 9 na terceira; e assim sucessivamente. Tal como na espiral de Ulam, a disposição dos primos no triângulo de Klauber parece um pouco aleatória, mas também apresenta uma regularidade surpreendente, com muitos primos alinhados em certas retas.

Como se explica esse tipo de comportamento? Ulam e seus colaboradores estudaram a questão, inclusive usando o computador Maniac II do Laboratório de Los Alamos para produzir uma figura da espiral com os primeiros 65 mil números naturais.